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命題の解き方とコツ。真偽と対偶と逆と裏とは何かをわかりやすく。

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学生時代には習い、社会人になるとSPIの問題で遭遇する”命題”。数学での命題とは、例えば、「AならばBである」のように、真偽(正しいか正しくないか)の判断対象となる文章を指します。解き方のコツとしては、対偶が一つのポイントとなるのですが、ここでは例題を挙げつつ、用語の意味を押さえて基本パターンを攻略できるようにわかりやすく説明していきます。

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命題の用語

最初に押さえておきたいのは、用語の意味です。早速みていきましょう。

・真(しん):命題が正しいとき → AならばBである

・偽(ぎ):命題が間違っているとき → AなのにBがない

・対偶(たいぐう):命題の対(つい)になるもの → BでないならばAでない

・逆(ぎゃく):命題の反対 → BならばAである

なかなか言葉では難しいですよね。

シンプルに図にしてみます。

命題関係図

対偶と逆、裏を図にすると上記のようになります。用語の意味にとらわれ、難しく考えず、この図をイメージできることが大切です。

そして、問題の解き方でポイントとなるのが、対偶関係にある命題を考えることで、

『ある命題が”真”である場合、その対偶関係にある命題も”真”になる』

という関係性です。

例えば、”パソコンをする人は目が悪い”という命題が”真”の場合、”目が悪くなければパソコンをしないい人”という対偶も”真”になります。

問題の解き方のポイント

先述した、ある命題が”真”である場合、その対偶関係にある命題も”真”になるという考え方を基本として、実際に解く際には、これを“記号”で表すと時間が削減できます

記号??

記号といっても” ○ と X “で表せば良いのです。解き方を順番にみてみます。

例えば、”仕事ができる人は余裕がある人”とあった場合、

  1.  仕事ができる人→○ 余裕がある→○
  2.  対偶を考えます。記号で表すならば、この場合両方”X”になれば良いので
  3.  X→余裕がない  X→仕事ができない
  4.  命題が真であれば、その対偶も真なので
  5.  “余裕がない人は仕事ができない人”というのが真になります。

このように順番に考えていきましょう。

新たな命題

少し応用になる場合、2つの命題が成立するとき、正しいものは〜という問題が出てきます。この際も慌てず、基本に忠実に考えていくと見えてきます。

先ほどの例に付け加えてみます。

“仕事ができる人は余裕がある人”、”余裕がある人は効率的である”この2つが成立するとき、

  1.  仕事ができる人→○ 余裕がある→○
  2.  対偶:X→余裕がない  X→仕事ができない
  3.  余裕がある人→○ 効率的→○
  4.  対偶:X→効率的でない X→余裕がない
  5.  ②と④を繋げてみる
  6.  “仕事ができない人は効率的でない”

繋げることで⑥の新しい命題ができるのです。

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まとめ

基本パターンを紹介しましたが、”BでないならばAでない”という命題が核になる場合ももちろんあります。しかし、上記で説明してきた考え方を守れば解くことができます。

ポイントを整理しましょう。

  1. ある命題が”真”である場合、その対偶関係にある命題も”真”である。
  2. 命題の文でのAとBを” ○とX “にしてみる

この2点をポイントに解いていくことが重要です。これは、2つの命題が出てきても変わりません。SPI問題を解かなくてはいけない機会のある方は、問題数を解いて慣れることも必要です。

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