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n進法の解き方と計算。n進法とはの基本から変換まで簡単理解。

投稿日:2018年7月3日 更新日:

n進法とは何なのと思う方もいるのではないでしょうか。例えば、普段使っているお金、1円が10枚になると10円玉、10円を10枚で100円。と10枚貯まると次の”位”の1枚と変わっていきます。”位”の繰り上げですが、このお金の繰り上げ例は、10進法と呼ばれる方法です。そして、1,2,3と数えていって初めて二桁になるのが”10″。一つの桁の中で利用できる数字は、0〜1の9個です。n進法のn部分が、2であれ、3であっても同じように考えていくのです。計算方法を含め、基本を押さえていきましょう。

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n進法の基本概要

先の”お金”の例は、10進法といいましたが、これは、

「一の位、十の位、百の位、千の位、万の位」と位が上がるごとに数が10倍になっています。

つまり、

1 x 10 = 10

10 x 10 = 100

100 x 10 = 1,000

1,000 x 10 = 10,000

となるわけです。

2進法では2倍や3進法では3倍としていき、“次の位”として考えて計算していけば良いのです。

1 x 2 = 2 (2の位)     1 x 3 = 3 (3の位)

2 x 2 = 4 (4の位)     3 x 3 = 9 (9の位)

4 x 2 = 8 (8の位)     9 x 3 = 27 (27の位)

8 x 2 = 16 (16の位) 27 x 3 = 81 (81の位)

“位”の呼び方は違えど、考え方は同じなのです。これは、4進法でも5進法でも4倍する5倍するとしていくだけです。お金の理論に戻って考えれば、2枚集まったら次の位へという考えるのです。

このような考え方の詳細をみてみましょう。

例えば、”1,234″という数字がある場合、

一の位:4

十の位:3

百の位:2

千の位:1

です。この普段使っている”せんにひゃくさんじゅうよん”を計算式として分解していきます。

10倍になると次の位になるので、

と紐解くことができ、”せんにひゃくさんじゅうよん”は、計算式でこういう意味なのです。説明は不要かもしれませんが、10の上にある小さな数字は、”何乗”かを示していて、” 10 ” に “小さな3” で、10の3乗、10 x 10 x 10 =1,000 を示しています。

ここでは、4桁でしたが、さらに“位”が多くなれば、” 〜乗 “の部分は増えます

例えば、4乗や5乗になります。

つまり、10進法に限らず、

” n個集まると1つ上の位に上がるn進法”であれば、

※ ” r “は、桁数により変わる” r乗 “

という計算式になります。

n進法の計算

n進法の計算では、10進法をn進法へ、n進法を10進法へなど、この変換方法を知っておかなくてはいけません。

< 10進法をn進法へ >

例えば、10進法の33を2進法に変換するとき、33を割っていき、同じ行の欄外に“余り”を書いていきます。割り切れる場合には、欄外に余り” 0 (ゼロ) “です。

そして、” n “で割れる数字がなくなるまで、割り算をしていきます。

上記を計算すると、

となります。最後 ” 1 “となっており、これ以上割ると分数になります。

そして、矢印の最初を起点に数字を並べていき、ここでは、

10進法の33を2進法にすると、「100001」が答えです。

< n進法を10進法へ >

今度は、n進法を10進法へ変換します。やり方は何個かありますが、計算という意味で簡単な方法をここでは取り上げます。

先例の2進法「110001」を10進法にしてみましょう。

この公式に倣えば、

これを計算すると” 33 “となります。合ってますよね。一般的なやり方です。これをさらに簡単に計算していきます。

この” 100001″の間にn進法の”n”を掛ける( x n )として入れていきます

すると、

となります。これを四則演算(+−x÷の計算順序)を無視して、前から順番に計算します。

実際やってみます。

1 x 2 + 0 x 2 + 0 x 2 + 0 x 2 + 0 x 2 + 1

= 2 x 2 + 0 x 2 + 0 x 2 + 0 x 2 + 1

= 4 x 2 + 0 x 2 + 0 x 2 + 1

= 8 x 2 + 0 x 2 + 1

= 16 x 2 + 1

= 33

です。ここでは、四則演算のルールに則れば、0 x 2 = 0ですが、前から順になので、0にはなりません。0の部分は”+ 0 “の計算になることに注意が必要です。

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まとめ

いかがでしたかn進法。n進法からの変換は、最後の計算が一番簡単ですよね。

基本的概要、意味とともに、計算を覚えれば、基本的なことは理解できます。

難しい計算もないので、覚えてモノにしましょう。

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