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つるかめ算(鶴亀算)の解き方。連立方程式とSPI仕様の公式。

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よく問題でつるとかめの足の数(つるは2本、かめは4本)やX果物と△果物を合わせて買って合計が○円。△果物は何個買いましたか。硬貨が合わせて○円、こちらの硬貨は何枚。など、このような問題を基本として出題されるのが”つるかめ算”です。問題文に出てくる2つをそれぞれx、yに置き換え、連立方程式にする解き方が一般的です。ここでは基本問題を挙げつつ、それ以外のSPIなどで時短として紹介される解き方の方法を簡単に説明していきます。

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非・連立方程式のつるかめ算

早速ですが、連立方程式を使わない公式のような手順を先に説明します。

  1. ある2つにおいて “全部”求める方でないものとして考える。(片方に合わせる)
  2. ①で計算したものと問題が提示してくれている数の差を考える。
  3. ②の差は、2つのものを何個入れ替えると正しい数になるかを考える。

これが基本で全てです。

何個か例を挙げて、連立方程式と上記方法でみていきます。

つるとかめの数は、合計40、足の数は86本。かめの数は?

これが問題とします。

< 連立方程式 >

まず、つるの足は2本、かめは4本です。

そして、つるの数を” x “、かめの数を” y “とします。すると、

x + y = 40・・・①

足の数は86本なので、

2x + 4y = 86・・・②

①より、x = 40 − y 。これを②へ代入します。

2(40 − y ) + 4y = 86

80 − 2y + 4y = 86

2y = 6

y = 3

つまり、かめ3匹、つる37羽。問われているのは”かめ”の数なので、3匹が答えです。

< SPI方式 >

続いて、SPI方式で考えます。手順は、最初に明記した通りです。順番にやっていきましょう。

①求める方でないものが全部の場合を考えます。

ここでは、合計が40で、かめの数を問われているので、その逆、全て”つる”であるとします。

つるは1羽につき、足は2本なので、

2 x 40 = 80本

②問題に提示されている足の数は86本です。①で計算した本数との差を計算します。

86 − 80 = 6本

③足が6本分少ない(足りない)ので、これを”つる”を何羽増減して、”かめ”を何匹増減すれば、問題と同じ足の本数になるかを考えます。(つる1羽減ると足が2本減る、かめが1匹増えると足が4本増えるまたは、その逆)

それを計算式にすると、

足の本数差 6本 ÷ つるとかめの足の本数差 (4本 − 2本)

6 ÷ 2 = 3

これが、かめの数を表しています。つまり、かめは3匹。答えが一緒になりました。

文の中身より、解き方を順序で覚えると早いです。

1個50円のりんごと1個80円のみかんを合わせて40個買いました。合計金額が2,630円になりました。りんごは何個買いましたか?

< 連立方程式 >

りんごの数を” x “、みかんの数を” y “とします。すると、

x + y = 40・・・①

合計金額は2,420円なので、

50x + 80y = 2,630・・・②

①より、x = 40 − y 。これを②へ代入します。

50(40 − y ) + 80y = 2,630

2,000 − 50y + 80y = 2,630

30y = 630

y = 21

つまり、みかん21個、りんごは19個。問われているのは”りんご”の数なので、19個が答えです。

< SPI方式 >

続いて、SPI方式で考えます。手順は、最初に明記した通りです。順番にやっていきましょう。

①求める方でないものが全部の場合を考えます。

ここでは、合計が40で、りんごの数を問われているので、その逆、全て”みかん”であるとします。

みかんは、1個80円なので

80円 x 40個 = 3,200円

②問題に提示されている合計金額は2,630円です。①で計算した金額との差を計算します。

3,200 − 2,630 = 570

③金額が570円分多いので、これを”りんご”を何個増減して、”みかん”を何個増減すれば、問題と同じ合計になるかを考えます。(りんごが1個減ると50円減る、みかんが1個増えると80円増えるまたは、その逆)

それを計算式にすると、

合計金額差 570 ÷ りんごとみかんの価格差 (80 − 50)

570 ÷ 30 = 19

これが、りんごの数を表しています。つまり、りんごは19個。答えが一緒になりました。

だんだん理解できてきましたか。

50円切手と80円切手を合わせて35枚買って、1,930円支払いました。80円切手は何枚買いましたか?

< 連立方程式 >

50円切手の数を” x “、80円切手の数を” y “とします。すると、

x + y = 35・・・①

合計金額は1,930円なので、

50x + 80y = 1,930・・・②

①より、y = 35 − x 。これを②へ代入します。

50x + 80(35 − x) = 1,930

50x + 2,800 − 80x = 1,930

−30y = −870

y = 29

つまり、80円切手29枚、50円切手6枚。問われているのは”80円切手”の数なので、29枚が答えです。

< SPI方式 >

続いて、SPI方式で考えます。手順は、最初に明記した通りです。順番にやっていきましょう。

①求める方でないものが全部の場合を考えます。

ここでは、合計が35枚で、80円切手の数を問われているので、その逆、全て”50円切手”であるとします。

50円 x 35枚 = 1,750円

②問題に提示されている合計金額は1,930円です。①で計算した金額との差を計算します。

1,930 − 1,750 = 180

③金額が180円分少ない(足らない)ので、これを”50円切手”を何枚増減して、”80円切手”を何枚増減すれば、問題と同じ合計になるかを考えます。(50円切手が1枚減ると50円減る、80円が1枚増えると80円増えるまたは、その逆)

それを計算式にすると、

合計金額差 180 ÷ 50円切手と80円切手の価格差 (80 − 50)

180 ÷ 30 = 6

これが、50円切手の数を表しています。つまり、80円切手は29枚。答えが一緒になりました。

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まとめ

連立方程式とSPI仕様の公式手順。お分かりになりましたでしょうか。例題は、上記のほか、お金の効果などもあります。しかし、解き方は変わりません。

どちらの解き方も間違いではないので、時間との勝負のときに自身がどちらが簡単に早くできるのかそんなことを踏まえて使い分けてみましょう。

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